Задача Найдите сумму бесконечной ... му первых шести её членов (на геометрическую прогрессию)

Вы ввели

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 80, 30, 11,25.... Найти сумму первых шести её членов

Найдено в тексте задачи:

Первый член: b1 = 30

n-член bn (n = 5 + 1 = 6)

Знаменатель: q = ((45/4))/(30)

Пример: 30; (45/4)...

Найти члены от 1 до 6

Сумма

    /    /     n\            
    |b_1*\1 - q /            
    |------------  for q != 1
S = <   1 - q                
    |                        
    |   b_1*n      otherwise 
    \                        

$$S = \begin{cases} \frac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q} & \text{for}\: q \neq 1 \\b_{1} n & \text{otherwise} \end{cases}$$

Сумма шести членов

        /       6\
     30*\1 - 3/8 /
S6 = -------------
        1 - 3/8   

$$S_{6} = \frac{30 \cdot \left(1 - \left(\frac{3}{8}\right)^{6}\right)}{- \frac{3}{8} + 1}$$

     784245
S6 = ------
     16384 

$$S_{6} = \frac{784245}{16384}$$

Произведение первых n-членов

               n
               -
               2
P_n = (b_1*b_n) 

$$P_{n} = \left(b_{1} b_{n}\right)^{\frac{n}{2}}$$

Произведение шести членов

               3
     /    3645\ 
P6 = |30*-----| 
     \   16384/ 

$$P_{6} = \left(30 \cdot \frac{3645}{16384}\right)^{3}$$

     163443018796875
P6 = ---------------
       549755813888 

$$P_{6} = \frac{163443018796875}{549755813888}$$

Сумма бесконечной прогрессии

         /           n\
S =  lim \48 - 48*3/8 /
    n->oo              

$$S = \lim_{n \to \infty}\left(48 - 48 \left(\frac{3}{8}\right)^{n}\right)$$

S = 48

$$S = 48$$

Первый член

b_1 = 30

$$b_{1} = 30$$

Знаменатель

q = 3/8

$$q = \frac{3}{8}$$

n-член

Шестой член

           -1 + n
b_n = b_1*q      

$$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$$

       3645
b_6 = -----
      16384

$$b_{6} = \frac{3645}{16384}$$

Пример

30; 45/4...

Расширенный пример:

30; 45/4; 135/32; 405/256; 1215/2048; 3645/16384...

b1 = 30

$$b_{1} = 30$$

b2 = 45/4

$$b_{2} = \frac{45}{4}$$

     135
b3 = ---
      32

$$b_{3} = \frac{135}{32}$$

     405
b4 = ---
     256

$$b_{4} = \frac{405}{256}$$

     1215
b5 = ----
     2048

$$b_{5} = \frac{1215}{2048}$$

      3645
b6 = -----
     16384

$$b_{6} = \frac{3645}{16384}$$

...