Задача Найти сумму бесконечной г ... у первых шести её членов. (на геометрическую прогрессию)

Вы ввели

  бесконечной геометрической прогрессии 80; 30; 11,25;.  первых шести её членов.

Найдено в тексте задачи:

Первый член: b1 = 80

n-член bn (n = 5 + 1 = 6)

Знаменатель: q = (30)/(80)

Пример: 80; 30; (45/4)...

Найти члены от 1 до 6

Пример

80; 30; 45/4...

Расширенный пример:

80; 30; 45/4; 135/32; 405/256; 1215/2048...

b1 = 80

$$b_{1} = 80$$

b2 = 30

$$b_{2} = 30$$

b3 = 45/4

$$b_{3} = \frac{45}{4}$$

     135
b4 = ---
      32

$$b_{4} = \frac{135}{32}$$

     405
b5 = ---
     256

$$b_{5} = \frac{405}{256}$$

     1215
b6 = ----
     2048

$$b_{6} = \frac{1215}{2048}$$

...

Знаменатель

q = 3/8

$$q = \frac{3}{8}$$

Первый член

b_1 = 80

$$b_{1} = 80$$

Сумма

    /    /     n\            
    |b_1*\1 - q /            
    |------------  for q != 1
S = <   1 - q                
    |                        
    |   n*b_1      otherwise 
    \                        

$$S = \begin{cases} \frac{b_{1} \cdot \left(1 - q^{n}\right)}{1 - q} & \text{for}\: q \neq 1 \\b_{1} n & \text{otherwise} \end{cases}$$

Сумма шести членов

        /       6\
     80*\1 - 3/8 /
S6 = -------------
        1 - 3/8   

$$S_{6} = \frac{80 \cdot \left(1 - \left(\frac{3}{8}\right)^{6}\right)}{- \frac{3}{8} + 1}$$

     261415
S6 = ------
      2048 

$$S_{6} = \frac{261415}{2048}$$

Произведение первых n-членов

               n
               -
               2
P_n = (b_1*b_n) 

$$P_{n} = \left(b_{1} b_{n}\right)^{\frac{n}{2}}$$

Произведение шести членов

              3
     /   1215\ 
P6 = |80*----| 
     \   2048/ 

$$P_{6} = \left(80 \cdot \frac{1215}{2048}\right)^{3}$$

     224201671875
P6 = ------------
       2097152   

$$P_{6} = \frac{224201671875}{2097152}$$

n-член

Шестой член

           -1 + n
b_n = b_1*q      

$$b_{n} = b_{1} q^{n - 1}$$

      1215
b_6 = ----
      2048

$$b_{6} = \frac{1215}{2048}$$

Сумма бесконечной прогрессии

         /             n\
S =  lim \128 - 128*3/8 /
    n->oo                

$$S = \lim_{n \to \infty}\left(128 - 128 \left(\frac{3}{8}\right)^{n}\right)$$

S = 128

$$S = 128$$