Производная (a*x+b)*e^(4*x)

Вы ввели

           4*x
(a*x + b)*e   

$$\left(a x + b\right) e^{4 x}$$

d /           4*x\
--\(a*x + b)*e   /
dx                

$$\frac{\partial}{\partial x} \left(a x + b\right) e^{4 x}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = a x + b$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $a x + b$ почленно:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $a$

      2. Производная постоянной $b$ равна нулю.

      В результате: $a$

   $g{\left(x \right)} = e^{4 x}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 4 x$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 4 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $4$

      В результате последовательности правил:

      $4 e^{4 x}$

   В результате: $a e^{4 x} + 4 \left(a x + b\right) e^{4 x}$

2. Теперь упростим:

   $\left(4 a x + a + 4 b\right) e^{4 x}$

---

Ответ:

$\left(4 a x + a + 4 b\right) e^{4 x}$

Первая производная

   4*x                4*x
a*e    + 4*(a*x + b)*e   

$$a e^{4 x} + 4 \left(a x + b\right) e^{4 x}$$

Вторая производная

                     4*x
8*(a + 2*b + 2*a*x)*e   

$$8 \cdot \left(2 a x + a + 2 b\right) e^{4 x}$$

Третья производная

                        4*x
16*(3*a + 4*b + 4*a*x)*e   

$$16 \cdot \left(4 a x + 3 a + 4 b\right) e^{4 x}$$