Производная pi^(sin(x/3))

Вы ввели

     /x\
  sin|-|
     \3/
pi      

$$\pi^{\sin{\left (\frac{x}{3} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} \pi^{u} = \pi^{u} \log{\left (\pi \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{x}{3}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{3}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{3}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{3} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{3} \pi^{\sin{\left (\frac{x}{3} \right )}} \log{\left (\pi \right )} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{3} \pi^{\sin{\left (\frac{x}{3} \right )}} \log{\left (\pi \right )} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{1}{3} \pi^{\sin{\left (\frac{x}{3} \right )}} \log{\left (\pi \right )} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$

Первая производная

     /x\               
  sin|-|               
     \3/    /x\        
pi      *cos|-|*log(pi)
            \3/        
-----------------------
           3           

$$\frac{1}{3} \pi^{\sin{\left (\frac{x}{3} \right )}} \log{\left (\pi \right )} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$$

Вторая производная

     /x\                                     
  sin|-|                                     
     \3/ /     /x\      2/x\        \        
pi      *|- sin|-| + cos |-|*log(pi)|*log(pi)
         \     \3/       \3/        /        
---------------------------------------------
                      9                      

$$\frac{1}{9} \pi^{\sin{\left (\frac{x}{3} \right )}} \left(- \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} + \log{\left (\pi \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )}\right) \log{\left (\pi \right )}$$

Третья производная

     /x\                                                          
  sin|-|                                                          
     \3/ /        2/x\    2                    /x\\    /x\        
pi      *|-1 + cos |-|*log (pi) - 3*log(pi)*sin|-||*cos|-|*log(pi)
         \         \3/                         \3//    \3/        
------------------------------------------------------------------
                                27                                

$$\frac{1}{27} \pi^{\sin{\left (\frac{x}{3} \right )}} \left(- 3 \log{\left (\pi \right )} \sin{\left (\frac{x}{3} \right )} + \log^{2}{\left (\pi \right )} \cos^{2}{\left (\frac{x}{3} \right )} - 1\right) \log{\left (\pi \right )} \cos{\left (\frac{x}{3} \right )}$$