Производная 2^cot(1/x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

Виды выражений

обычное уравнение 2^cot(1/x) = 0

неявная функция 2^cot(1/x)

производная неявной 2^cot(1/x)

канонический вид 2^cot(1/x)

система уравнений 2^cot(1/x)

Неопределенный интеграл 2^cot(1/x)

построить график 2^cot(1/x)

предел функции 2^cot(1/x)

упростить выражение 2^cot(1/x)

обычный калькулятор 2^cot(1/x)

Решение

Вы ввели [src]

    /  1\
 cot|1*-|
    \  x/
2

$$2^{\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$$

  /    /  1\\
  | cot|1*-||
d |    \  x/|
--\2        /
dx

$$\frac{d}{d x} 2^{\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$$

Преобразовать

Подробное решение

Заменим $u = \cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ .
$\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}$
Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ :
1. Есть несколько способов вычислить эту производную.
  Method #1
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    $\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
  2. Заменим $u = \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ .
  3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$
  4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ :
    1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
      $\tan{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
    2. Применим правило производной частного:
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ .
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$ .
      Производная синуса есть косинус:
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$ :
      Применим правило производной частного:
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$ .
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      Производная постоянной $1$ равна нулю.
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Теперь применим правило производной деления:
      $- \frac{1}{x^{2}}$
      В результате последовательности правил:
      $- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$ .
      Производная косинус есть минус синус:
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
      Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$ :
      Применим правило производной частного:
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$ .
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      Производная постоянной $1$ равна нулю.
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Теперь применим правило производной деления:
      $- \frac{1}{x^{2}}$
      В результате последовательности правил:
      $\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
      Теперь применим правило производной деления:
      $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
    В результате последовательности правил:
    $- \frac{- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
  Method #2
  1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:
    $\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} = \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
  2. Применим правило производной частного:
    $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
    $f{\left(x \right)} = \cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}$ .
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$ .
    2. Производная косинус есть минус синус:
      $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$ :
      Применим правило производной частного:
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$ .
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      Производная постоянной $1$ равна нулю.
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Теперь применим правило производной деления:
      $- \frac{1}{x^{2}}$
      В результате последовательности правил:
      $\frac{\sin{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
    Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
    1. Заменим $u = 1 \cdot \frac{1}{x}$ .
    2. Производная синуса есть косинус:
      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
    3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x}$ :
      Применим правило производной частного:
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x$ .
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      Производная постоянной $1$ равна нулю.
      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      В силу правила, применим: $x$ получим $1$
      Теперь применим правило производной деления:
      $- \frac{1}{x^{2}}$
      В результате последовательности правил:
      $- \frac{\cos{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}$
    Теперь применим правило производной деления:
    $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
В результате последовательности правил:
$- \frac{2^{\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}} \left(- \frac{\sin^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}}{\cos^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} \tan^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}}$
Теперь упростим:
$\frac{2^{\frac{1}{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$

Ответ:

$\frac{2^{\frac{1}{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2} \sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}$

График

Построить график f(x)

Построить график f'(x)

Первая производная [src]

     /  1\                         
  cot|1*-|                         
     \  x/ /        2/  1\\        
-2        *|-1 - cot |1*-||*log(2) 
           \         \  x//        
-----------------------------------
                  2                
                 x

$$- \frac{2^{\cot{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)}} \left(- \cot^{2}{\left(1 \cdot \frac{1}{x} \right)} - 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{2}}$$

Упростить

Вторая производная [src]

    /1\               /          /1\   /       2/1\\       \       
 cot|-|               |     2*cot|-|   |1 + cot |-||*log(2)|       
    \x/ /       2/1\\ |          \x/   \        \x//       |       
2      *|1 + cot |-||*|-2 + -------- + --------------------|*log(2)
        \        \x// \        x                x          /       
-------------------------------------------------------------------
                                  3                                
                                 x

$$\frac{2^{\cot{\left(\frac{1}{x} \right)}} \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(-2 + \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x} + \frac{2 \cot{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{3}}$$

Упростить

Третья производная [src]

                      /                                                           2                                                                 \       
    /1\               |          /1\     /       2/1\\        2/1\   /       2/1\\     2        /       2/1\\            /       2/1\\    /1\       |       
 cot|-|               |    12*cot|-|   2*|1 + cot |-||   4*cot |-|   |1 + cot |-|| *log (2)   6*|1 + cot |-||*log(2)   6*|1 + cot |-||*cot|-|*log(2)|       
    \x/ /       2/1\\ |          \x/     \        \x//         \x/   \        \x//              \        \x//            \        \x//    \x/       |       
2      *|1 + cot |-||*|6 - --------- + --------------- + --------- + ---------------------- - ---------------------- + -----------------------------|*log(2)
        \        \x// |        x               2              2                 2                       x                             2             |       
                      \                       x              x                 x                                                     x              /       
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                              4                                                                             
                                                                             x

$$\frac{2^{\cot{\left(\frac{1}{x} \right)}} \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(6 - \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x} - \frac{12 \cot{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} + \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2}} + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \cot{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{4 \cot^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{4}}$$

Упростить

График

Производная 2^cot(1/x) /media/krcore-image-pods/hash/derivative/8/96/f048820110ad37d76bd432626be89.png

Как пользоваться?

Идентичные выражения

Похожие выражения

Выражения c функциями

Производная 2^cot(1/x)

Учитель очень удивится увидев твоё верное решение производной 😼

График:

Кусочно-заданная:

Виды выражений

Решение

Method #1

Method #2