Производная exp(-1/cos(x))

Вы ввели

  -1   
 ------
 cos(x)
e      

$$e^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

         1. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$

Первая производная

   -1           
  ------        
  cos(x)        
-e      *sin(x) 
----------------
       2        
    cos (x)     

$$- \frac{e^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

                             -1   
/        2           2   \  ------
|     sin (x)   2*sin (x)|  cos(x)
|-1 + ------- - ---------|*e      
|        3          2    |        
\     cos (x)    cos (x) /        
----------------------------------
              cos(x)              

$$\frac{e^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}}{\cos{\left (x \right )}} \left(- \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} - 1\right)$$

Третья производная

                                                  -1          
/                 2           2           2   \  ------       
|       3      sin (x)   6*sin (x)   6*sin (x)|  cos(x)       
|-5 + ------ - ------- - --------- + ---------|*e      *sin(x)
|     cos(x)      4          2           3    |               
\              cos (x)    cos (x)     cos (x) /               
--------------------------------------------------------------
                              2                               
                           cos (x)                            

$$\frac{e^{- \frac{1}{\cos{\left (x \right )}}}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(- \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{3}{\left (x \right )}} - \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{4}{\left (x \right )}} - 5 + \frac{3}{\cos{\left (x \right )}}\right) \sin{\left (x \right )}$$