Производная exp(x)/(1+x)

Вы ввели

   x 
  e  
-----
1 + x

$$\frac{e^{x}}{x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = e^{x}$ и $g{\left (x \right )} = x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $e^{x}$ само оно.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{\left(x + 1\right) e^{x} - e^{x}}{\left(x + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x e^{x}}{\left(x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x e^{x}}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

   x        x   
  e        e    
----- - --------
1 + x          2
        (1 + x) 

$$\frac{e^{x}}{x + 1} - \frac{e^{x}}{\left(x + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/      2        2    \  x
|1 - ----- + --------|*e 
|    1 + x          2|   
\            (1 + x) /   
-------------------------
          1 + x          

$$\frac{e^{x}}{x + 1} \left(1 - \frac{2}{x + 1} + \frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

/       6         3        6    \  x
|1 - -------- - ----- + --------|*e 
|           3   1 + x          2|   
\    (1 + x)            (1 + x) /   
------------------------------------
               1 + x                

$$\frac{e^{x}}{x + 1} \left(1 - \frac{3}{x + 1} + \frac{6}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{6}{\left(x + 1\right)^{3}}\right)$$