Производная e^tan(x)

Вы ввели

 tan(x)
e      

$$e^{\tan{\left(x \right)}}$$

d / tan(x)\
--\e      /
dx         

$$\frac{d}{d x} e^{\tan{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left(x \right)}$.

2. Производная $e^{u}$ само оно.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{\tan{\left(x \right)}}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{e^{\tan{\left(x \right)}}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{e^{\tan{\left(x \right)}}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

/       2   \  tan(x)
\1 + tan (x)/*e      

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) e^{\tan{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

/       2   \ /       2              \  tan(x)
\1 + tan (x)/*\1 + tan (x) + 2*tan(x)/*e      

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 2 \tan{\left(x \right)} + 1\right) e^{\tan{\left(x \right)}}$$

Третья производная

              /                 2                                     \        
/       2   \ |    /       2   \         2        /       2   \       |  tan(x)
\1 + tan (x)/*\2 + \1 + tan (x)/  + 6*tan (x) + 6*\1 + tan (x)/*tan(x)/*e      

$$\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 6 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} + 6 \tan^{2}{\left(x \right)} + 2\right) e^{\tan{\left(x \right)}}$$

График