Производная cos(t)/(1+sin(t))

Вы ввели

  cos(t)  
----------
1 + sin(t)

$$\frac{\cos{\left (t \right )}}{\sin{\left (t \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t}\left(\frac{f{\left (t \right )}}{g{\left (t \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (t \right )}} \left(- f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}\right)$

   $f{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$ и $g{\left (t \right )} = \sin{\left (t \right )} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d t} \cos{\left (t \right )} = - \sin{\left (t \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

   1. дифференцируем $\sin{\left (t \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$

      В результате: $\cos{\left (t \right )}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(\sin{\left (t \right )} + 1\right)^{2}} \left(- \left(\sin{\left (t \right )} + 1\right) \sin{\left (t \right )} - \cos^{2}{\left (t \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\sin{\left (t \right )} + 1}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\sin{\left (t \right )} + 1}$

Первая производная

                     2      
    sin(t)        cos (t)   
- ---------- - -------------
  1 + sin(t)               2
               (1 + sin(t)) 

$$- \frac{\sin{\left (t \right )}}{\sin{\left (t \right )} + 1} - \frac{\cos^{2}{\left (t \right )}}{\left(\sin{\left (t \right )} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/            2                  \       
|       2*cos (t)      3*sin(t) |       
|-1 + ------------- + ----------|*cos(t)
|                 2   1 + sin(t)|       
\     (1 + sin(t))              /       
----------------------------------------
               1 + sin(t)               

$$\frac{\cos{\left (t \right )}}{\sin{\left (t \right )} + 1} \left(-1 + \frac{3 \sin{\left (t \right )}}{\sin{\left (t \right )} + 1} + \frac{2 \cos^{2}{\left (t \right )}}{\left(\sin{\left (t \right )} + 1\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

         4             2            2             2                   
    6*cos (t)     3*sin (t)    4*cos (t)    12*cos (t)*sin(t)         
- ------------- - ---------- + ---------- - ----------------- + sin(t)
              3   1 + sin(t)   1 + sin(t)                 2           
  (1 + sin(t))                                (1 + sin(t))            
----------------------------------------------------------------------
                              1 + sin(t)                              

$$\frac{1}{\sin{\left (t \right )} + 1} \left(\sin{\left (t \right )} - \frac{3 \sin^{2}{\left (t \right )}}{\sin{\left (t \right )} + 1} + \frac{4 \cos^{2}{\left (t \right )}}{\sin{\left (t \right )} + 1} - \frac{12 \sin{\left (t \right )} \cos^{2}{\left (t \right )}}{\left(\sin{\left (t \right )} + 1\right)^{2}} - \frac{6 \cos^{4}{\left (t \right )}}{\left(\sin{\left (t \right )} + 1\right)^{3}}\right)$$