Производная cos(x)/-x

Вы ввели

cos(x)
------
  -x  

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{-1 x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = - x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $-1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

cos(x)   -1        
------ - ---*sin(x)
   2      x        
  x                

$$- \frac{1}{x} \left(-1 \sin{\left (x \right )}\right) + \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  2*sin(x)   2*cos(x)         
- -------- - -------- + cos(x)
     x           2            
                x             
------------------------------
              x               

$$\frac{1}{x} \left(\cos{\left (x \right )} - \frac{2}{x} \sin{\left (x \right )} - \frac{2}{x^{2}} \cos{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

          3*cos(x)   6*cos(x)   6*sin(x)
-sin(x) - -------- + -------- + --------
             x           3          2   
                        x          x    
----------------------------------------
                   x                    

$$\frac{1}{x} \left(- \sin{\left (x \right )} - \frac{3}{x} \cos{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{2}} \sin{\left (x \right )} + \frac{6}{x^{3}} \cos{\left (x \right )}\right)$$