Производная cos(x)/(5*x)

Вы ввели

cos(x)
------
 5*x  

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{5 x}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = 5 x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $5$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{25 x^{2}} \left(- 5 x \sin{\left (x \right )} - 5 \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{5 x^{2}} \left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

---

Ответ:

$- \frac{1}{5 x^{2}} \left(x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$

Первая производная

   1           cos(x)
- ---*sin(x) - ------
  5*x              2 
                5*x  

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{5 x} - \frac{\cos{\left (x \right )}}{5 x^{2}}$$

Вторая производная

          2*sin(x)   2*cos(x)
-cos(x) + -------- + --------
             x           2   
                        x    
-----------------------------
             5*x             

$$\frac{1}{5 x} \left(- \cos{\left (x \right )} + \frac{2}{x} \sin{\left (x \right )} + \frac{2}{x^{2}} \cos{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  6*cos(x)   6*sin(x)   3*cos(x)         
- -------- - -------- + -------- + sin(x)
      3          2         x             
     x          x                        
-----------------------------------------
                   5*x                   

$$\frac{1}{5 x} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{3}{x} \cos{\left (x \right )} - \frac{6}{x^{2}} \sin{\left (x \right )} - \frac{6}{x^{3}} \cos{\left (x \right )}\right)$$