Производная cos(x)/(x+sin(x))

Вы ввели

  cos(x)  
----------
x + sin(x)

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x + \sin{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + \sin{\left (x \right )}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $\cos{\left (x \right )} + 1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(- \left(x + \sin{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \right )} - \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 1}{\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )} + 1}{\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}}$

Первая производная

    sin(x)     (-1 - cos(x))*cos(x)
- ---------- + --------------------
  x + sin(x)                  2    
                  (x + sin(x))     

$$- \frac{\sin{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}} + \frac{\left(- \cos{\left (x \right )} - 1\right) \cos{\left (x \right )}}{\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}}$$

Вторая производная

                                        2                               
          cos(x)*sin(x)   2*(1 + cos(x)) *cos(x)   2*(1 + cos(x))*sin(x)
-cos(x) + ------------- + ---------------------- + ---------------------
            x + sin(x)                    2              x + sin(x)     
                              (x + sin(x))                              
------------------------------------------------------------------------
                               x + sin(x)                               

$$\frac{1}{x + \sin{\left (x \right )}} \left(- \cos{\left (x \right )} + \frac{2 \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \sin{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}} + \frac{\sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}} + \frac{2 \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \cos{\left (x \right )}}{\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

    2             2                     2                        3                                                                       
 cos (x)     3*sin (x)    6*(1 + cos(x)) *sin(x)   6*(1 + cos(x)) *cos(x)   3*(1 + cos(x))*cos(x)   6*(1 + cos(x))*cos(x)*sin(x)         
---------- - ---------- - ---------------------- - ---------------------- + --------------------- - ---------------------------- + sin(x)
x + sin(x)   x + sin(x)                   2                        3              x + sin(x)                           2                 
                              (x + sin(x))             (x + sin(x))                                        (x + sin(x))                  
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                x + sin(x)                                                               

$$\frac{1}{x + \sin{\left (x \right )}} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{3 \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \cos{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}} - \frac{3 \sin^{2}{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{x + \sin{\left (x \right )}} - \frac{6 \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \sin{\left (x \right )}}{\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}} - \frac{6 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}}{\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) - \frac{6 \left(\cos{\left (x \right )} + 1\right)^{3} \cos{\left (x \right )}}{\left(x + \sin{\left (x \right )}\right)^{3}}\right)$$