Производная (cos(x))^2/x

Вы ввели

   2   
cos (x)
-------
   x   

$$\frac{1}{x} \cos^{2}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \cos^{2}{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- 2 x \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x^{2}} \left(x \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x^{2}} \left(x \sin{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2} \cos{\left (2 x \right )} + \frac{1}{2}\right)$

Первая производная

     2                     
  cos (x)   2*cos(x)*sin(x)
- ------- - ---------------
      2            x       
     x                     

$$- \frac{2}{x} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{1}{x^{2}} \cos^{2}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

  /                       2                     \
  |   2         2      cos (x)   2*cos(x)*sin(x)|
2*|sin (x) - cos (x) + ------- + ---------------|
  |                        2            x       |
  \                       x                     /
-------------------------------------------------
                        x                        

$$\frac{1}{x} \left(2 \sin^{2}{\left (x \right )} - 2 \cos^{2}{\left (x \right )} + \frac{4}{x} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} + \frac{2}{x^{2}} \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$$

Третья производная

  /       2           2           2                                       \
  |  3*sin (x)   3*cos (x)   3*cos (x)                     6*cos(x)*sin(x)|
2*|- --------- - --------- + --------- + 4*cos(x)*sin(x) - ---------------|
  |      x            3          x                                 2      |
  \                  x                                            x       /
---------------------------------------------------------------------------
                                     x                                     

$$\frac{1}{x} \left(8 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{6}{x} \sin^{2}{\left (x \right )} + \frac{6}{x} \cos^{2}{\left (x \right )} - \frac{12}{x^{2}} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} - \frac{6}{x^{3}} \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$$