Производная cos(x^(1/5))

Вы ввели

   /5 ___\
cos\\/ x /

$$\cos{\left (\sqrt[5]{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sqrt[5]{x}$.

2. Производная косинус есть минус синус:

   $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt[5]{x}$:

   1. В силу правила, применим: $\sqrt[5]{x}$ получим $\frac{1}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left (\sqrt[5]{x} \right )}}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left (\sqrt[5]{x} \right )}}{5 x^{\frac{4}{5}}}$

Первая производная

    /5 ___\ 
-sin\\/ x / 
------------
      4/5   
   5*x      

$$- \frac{\sin{\left (\sqrt[5]{x} \right )}}{5 x^{\frac{4}{5}}}$$

Вторая производная

                    /5 ___\
     /5 ___\   4*sin\\/ x /
- cos\\/ x / + ------------
                  5 ___    
                  \/ x     
---------------------------
              8/5          
          25*x             

$$\frac{1}{25 x^{\frac{8}{5}}} \left(- \cos{\left (\sqrt[5]{x} \right )} + \frac{4}{\sqrt[5]{x}} \sin{\left (\sqrt[5]{x} \right )}\right)$$

Третья производная

        /5 ___\         /5 ___\             
  36*sin\\/ x /   12*cos\\/ x /      /5 ___\
- ------------- + ------------- + sin\\/ x /
        2/5           5 ___                 
       x              \/ x                  
--------------------------------------------
                      12/5                  
                 125*x                      

$$\frac{1}{125 x^{\frac{12}{5}}} \left(\sin{\left (\sqrt[5]{x} \right )} + \frac{12}{\sqrt[5]{x}} \cos{\left (\sqrt[5]{x} \right )} - \frac{36}{x^{\frac{2}{5}}} \sin{\left (\sqrt[5]{x} \right )}\right)$$