Производная cot(2*x/3)

Вы ввели

   /2*x\
cot|---|
   \ 3 /

$$\cot{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$$

Подробное решение

1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

   Один из способов:

   1. Заменим $u = \frac{2 x}{3}$.

   2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{2 x}{3}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $2$

         Таким образом, в результате: $\frac{2}{3}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2}{3 \sin^{2}{\left (\frac{2 x}{3} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{4}{3 \cos{\left (\frac{4 x}{3} \right )} - 3}$

---

Ответ:

$\frac{4}{3 \cos{\left (\frac{4 x}{3} \right )} - 3}$

Первая производная

           2/2*x\
      2*cot |---|
  2         \ 3 /
- - - -----------
  3        3     

$$- \frac{2}{3} \cot^{2}{\left (\frac{2 x}{3} \right )} - \frac{2}{3}$$

Вторая производная

  /       2/2*x\\    /2*x\
8*|1 + cot |---||*cot|---|
  \        \ 3 //    \ 3 /
--------------------------
            9             

$$\frac{8}{9} \left(\cot^{2}{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + 1\right) \cot{\left (\frac{2 x}{3} \right )}$$

Третья производная

    /       2/2*x\\ /         2/2*x\\
-16*|1 + cot |---||*|1 + 3*cot |---||
    \        \ 3 // \          \ 3 //
-------------------------------------
                  27                 

$$- \frac{16}{27} \left(\cot^{2}{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left (\frac{2 x}{3} \right )} + 1\right)$$