Производная sqrt(a^2+b^2)

Вы ввели

   _________
  /  2    2 
\/  a  + b  

$$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$$

  /   _________\
d |  /  2    2 |
--\\/  a  + b  /
db              

$$\frac{\partial}{\partial b} \sqrt{a^{2} + b^{2}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = a^{2} + b^{2}$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial b} \left(a^{2} + b^{2}\right)$:

   1. дифференцируем $a^{2} + b^{2}$ почленно:

      1. Производная постоянной $a^{2}$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $b^{2}$ получим $2 b$

      В результате: $2 b$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

---

Ответ:

$\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Первая производная

     b      
------------
   _________
  /  2    2 
\/  a  + b  

$$\frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$

Вторая производная

        2   
       b    
1 - ------- 
     2    2 
    a  + b  
------------
   _________
  /  2    2 
\/  a  + b  

$$\frac{- \frac{b^{2}}{a^{2} + b^{2}} + 1}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$$

Третья производная

    /         2  \
    |        b   |
3*b*|-1 + -------|
    |      2    2|
    \     a  + b /
------------------
            3/2   
   / 2    2\      
   \a  + b /      

$$\frac{3 b \left(\frac{b^{2}}{a^{2} + b^{2}} - 1\right)}{\left(a^{2} + b^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}$$