Производная sqrt(cos(x)-1)

Вы ввели

  ____________
\/ cos(x) - 1 

$$\sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}$$

d /  ____________\
--\\/ cos(x) - 1 /
dx                

$$\frac{d}{d x} \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)} - 1$.

2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)$:

   1. дифференцируем $\cos{\left(x \right)} - 1$ почленно:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      2. Производная постоянной $\left(-1\right) 1$ равна нулю.

      В результате: $- \sin{\left(x \right)}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}$

---

Ответ:

$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}$

Первая производная

    -sin(x)     
----------------
    ____________
2*\/ cos(x) - 1 

$$- \frac{\sin{\left(x \right)}}{2 \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}$$

Вторая производная

 /                2     \ 
 |             sin (x)  | 
-|2*cos(x) + -----------| 
 \           -1 + cos(x)/ 
--------------------------
        _____________     
    4*\/ -1 + cos(x)      

$$- \frac{2 \cos{\left(x \right)} + \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1}}{4 \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}$$

Третья производная

/                         2      \       
|      6*cos(x)      3*sin (x)   |       
|4 - ----------- - --------------|*sin(x)
|    -1 + cos(x)                2|       
\                  (-1 + cos(x)) /       
-----------------------------------------
                _____________            
            8*\/ -1 + cos(x)             

$$\frac{\left(4 - \frac{6 \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 1} - \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}\right) \sin{\left(x \right)}}{8 \sqrt{\cos{\left(x \right)} - 1}}$$

График