Производная sqrt(x^2-1)-sqrt(x^2+1)

Вы ввели

   ________      ________
  /  2          /  2     
\/  x  - 1  - \/  x  + 1 

$$- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 1}$$

  /   ________      ________\
d |  /  2          /  2     |
--\\/  x  - 1  - \/  x  + 1 /
dx                           

$$\frac{d}{d x} \left(- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 1}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- \sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{x^{2} - 1}$ почленно:

   1. Заменим $u = x^{2} - 1$.

   2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x^{2} - 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         2. Производная постоянной $\left(-1\right) 1$ равна нулю.

         В результате: $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = x^{2} + 1$.

      2. В силу правила, применим: $\sqrt{u}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 1\right)$:

         1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

            2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

            В результате: $2 x$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

   В результате: $\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{x^{4} - 1}}$

---

Ответ:

$\frac{x \left(- \sqrt{x^{2} - 1} + \sqrt{x^{2} + 1}\right)}{\sqrt{x^{4} - 1}}$

Первая производная

     x             x     
----------- - -----------
   ________      ________
  /  2          /  2     
\/  x  - 1    \/  x  + 1 

$$\frac{x}{\sqrt{x^{2} - 1}} - \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$$

Вторая производная

                                   2             2     
     1              1             x             x      
------------ - ----------- + ----------- - ------------
   _________      ________           3/2            3/2
  /       2      /      2    /     2\      /      2\   
\/  -1 + x     \/  1 + x     \1 + x /      \-1 + x /   

$$\frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$$

Третья производная

    /                                   2              2    \
    |     1             1              x              x     |
3*x*|----------- - ------------ + ------------ - -----------|
    |        3/2            3/2            5/2           5/2|
    |/     2\      /      2\      /      2\      /     2\   |
    \\1 + x /      \-1 + x /      \-1 + x /      \1 + x /   /

$$3 x \left(- \frac{x^{2}}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{x^{2}}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{5}{2}}} + \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{\frac{3}{2}}} - \frac{1}{\left(x^{2} - 1\right)^{\frac{3}{2}}}\right)$$

График