Производная log(cos(x))^(11)

Вы ввели

   11        
log  (cos(x))

$$\log^{11}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{11}$ получим $11 u^{10}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{11 \log^{10}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- 11 \log^{10}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$- 11 \log^{10}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}$

Первая производная

       10               
-11*log  (cos(x))*sin(x)
------------------------
         cos(x)         

$$- \frac{11 \log^{10}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

                /                     2         2               \
      9         |               10*sin (x)   sin (x)*log(cos(x))|
11*log (cos(x))*|-log(cos(x)) + ---------- - -------------------|
                |                   2                 2         |
                \                cos (x)           cos (x)      /

$$11 \left(- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{10 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right) \log^{9}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}$$

Третья производная

                /                                        2         2            2            2               \       
      8         |     2                            45*sin (x)   log (cos(x))*sin (x)   15*sin (x)*log(cos(x))|       
22*log (cos(x))*|- log (cos(x)) + 15*log(cos(x)) - ---------- - -------------------- + ----------------------|*sin(x)
                |                                      2                 2                       2           |       
                \                                   cos (x)           cos (x)                 cos (x)        /       
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                        cos(x)                                                       

$$\frac{22 \log^{8}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \left(- \frac{\log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \sin^{2}{\left (x \right )} - \log^{2}{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + \frac{15 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} + 15 \log{\left (\cos{\left (x \right )} \right )} - \frac{45 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}}\right) \sin{\left (x \right )}$$