Производная log(1/(1-x))

Вы ввели

   /  1  \
log|-----|
   \1 - x/

$$\log{\left (\frac{1}{- x + 1} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{1}{- x + 1}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{- x + 1}$:

   1. Заменим $u = - x + 1$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $- x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{\left(- x + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{- x + 1}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x - 1}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x - 1}$

Первая производная

  1  
-----
1 - x

$$\frac{1}{- x + 1}$$

Вторая производная

    1    
---------
        2
(-1 + x) 

$$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}}$$

Третья производная

   -2    
---------
        3
(-1 + x) 

$$- \frac{2}{\left(x - 1\right)^{3}}$$