Производная log(1-exp(x))

Вы ввели

   /     x\
log\1 - e /

$$\log{\left (- e^{x} + 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - e^{x} + 1$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- e^{x} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $- e^{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная $e^{x}$ само оно.

         Таким образом, в результате: $- e^{x}$

      В результате: $- e^{x}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{x}}{- e^{x} + 1}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$

---

Ответ:

$\frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$

Первая производная

   x  
 -e   
------
     x
1 - e 

$$- \frac{e^{x}}{- e^{x} + 1}$$

Вторая производная

/        x  \   
|       e   |  x
|1 - -------|*e 
|          x|   
\    -1 + e /   
----------------
          x     
    -1 + e      

$$\frac{\left(1 - \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}\right) e^{x}}{e^{x} - 1}$$

Третья производная

/         x         2*x  \   
|      3*e       2*e     |  x
|1 - ------- + ----------|*e 
|          x            2|   
|    -1 + e    /      x\ |   
\              \-1 + e / /   
-----------------------------
                 x           
           -1 + e            

$$\frac{e^{x}}{e^{x} - 1} \left(1 - \frac{3 e^{x}}{e^{x} - 1} + \frac{2 e^{2 x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right)$$