Производная log(t/(t-1))

Вы ввели

   /  t  \
log|-----|
   \t - 1/

$$\log{\left (\frac{t}{t - 1} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{t}{t - 1}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(\frac{t}{t - 1}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d t}\left(\frac{f{\left (t \right )}}{g{\left (t \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (t \right )}} \left(- f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}\right)$

      $f{\left (t \right )} = t$ и $g{\left (t \right )} = t - 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

      1. дифференцируем $t - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{1}{\left(t - 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{t - 1}{t \left(t - 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{t \left(t - 1\right)}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{t \left(t - 1\right)}$

Первая производная

        /  1        t    \
(t - 1)*|----- - --------|
        |t - 1          2|
        \        (t - 1) /
--------------------------
            t             

$$\frac{1}{t} \left(t - 1\right) \left(- \frac{t}{\left(t - 1\right)^{2}} + \frac{1}{t - 1}\right)$$

Вторая производная

/       t   \ /1     1   \
|-1 + ------|*|- + ------|
\     -1 + t/ \t   -1 + t/
--------------------------
            t             

$$\frac{1}{t} \left(\frac{t}{t - 1} - 1\right) \left(\frac{1}{t - 1} + \frac{1}{t}\right)$$

Третья производная

  /       t   \ /  1        1           1     \
2*|-1 + ------|*|- -- - --------- - ----------|
  \     -1 + t/ |   2           2   t*(-1 + t)|
                \  t    (-1 + t)              /
-----------------------------------------------
                       t                       

$$\frac{2}{t} \left(\frac{t}{t - 1} - 1\right) \left(- \frac{1}{\left(t - 1\right)^{2}} - \frac{1}{t \left(t - 1\right)} - \frac{1}{t^{2}}\right)$$