Производная log((x-1)/(2-x))

Вы ввели

   /x - 1\
log|-----|
   \2 - x/

$$\log{\left (\frac{x - 1}{- x + 2} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x - 1}{- x + 2}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x - 1}{- x + 2}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x - 1$ и $g{\left (x \right )} = - x + 2$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $- x + 2$ почленно:

         1. Производная постоянной $2$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате: $-1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{\left(- x + 2\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{\left(- x + 2\right) \left(x - 1\right)}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)}$

Первая производная

        /  1      x - 1  \
(2 - x)*|----- + --------|
        |2 - x          2|
        \        (2 - x) /
--------------------------
          x - 1           

$$\frac{1}{x - 1} \left(- x + 2\right) \left(\frac{1}{- x + 2} + \frac{x - 1}{\left(- x + 2\right)^{2}}\right)$$

Вторая производная

/    -1 + x\ /    1        1   \
|1 - ------|*|- ------ - ------|
\    -2 + x/ \  -1 + x   -2 + x/
--------------------------------
             -1 + x             

$$\frac{1}{x - 1} \left(1 - \frac{x - 1}{x - 2}\right) \left(- \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x - 2}\right)$$

Третья производная

  /    -1 + x\ /    1           1               1        \
2*|1 - ------|*|--------- + --------- + -----------------|
  \    -2 + x/ |        2           2   (-1 + x)*(-2 + x)|
               \(-1 + x)    (-2 + x)                     /
----------------------------------------------------------
                          -1 + x                          

$$\frac{2}{x - 1} \left(1 - \frac{x - 1}{x - 2}\right) \left(\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x - 1\right)} + \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}\right)$$