Производная (log(x)-1)/(x-e)

Вы ввели

log(x) - 1
----------
  x - E   

$$\frac{\log{\left (x \right )} - 1}{x - e}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )} - 1$ и $g{\left (x \right )} = x - e$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\log{\left (x \right )} - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате: $\frac{1}{x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - e$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная постоянной $- e$ равна нулю.

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x - e\right)^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + 1 + \frac{1}{x} \left(x - e\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x \left(x - e\right)^{2}} \left(x \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) + x - e\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \left(x - e\right)^{2}} \left(x \left(- \log{\left (x \right )} + 1\right) + x - e\right)$

Первая производная

    1       log(x) - 1
--------- - ----------
x*(x - E)           2 
             (x - E)  

$$- \frac{\log{\left (x \right )} - 1}{\left(x - e\right)^{2}} + \frac{1}{x \left(x - e\right)}$$

Вторая производная

  1        2       2*(-1 + log(x))
- -- - --------- + ---------------
   2   x*(x - E)              2   
  x                    (x - E)    
----------------------------------
              x - E               

$$\frac{1}{x - e} \left(\frac{1}{\left(x - e\right)^{2}} \left(2 \log{\left (x \right )} - 2\right) - \frac{2}{x \left(x - e\right)} - \frac{1}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

2    6*(-1 + log(x))       3            6     
-- - --------------- + ---------- + ----------
 3              3       2                    2
x        (x - E)       x *(x - E)   x*(x - E) 
----------------------------------------------
                    x - E                     

$$\frac{1}{x - e} \left(- \frac{1}{\left(x - e\right)^{3}} \left(6 \log{\left (x \right )} - 6\right) + \frac{6}{x \left(x - e\right)^{2}} + \frac{3}{x^{2} \left(x - e\right)} + \frac{2}{x^{3}}\right)$$