Производная log(x+log(x))

Вы ввели

log(x + log(x))

$$\log{\left (x + \log{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x + \log{\left (x \right )}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + \log{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $x + \log{\left (x \right )}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате: $1 + \frac{1}{x}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1 + \frac{1}{x}}{x + \log{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{x + 1}{x \left(x + \log{\left (x \right )}\right)}$

---

Ответ:

$\frac{x + 1}{x \left(x + \log{\left (x \right )}\right)}$

Первая производная

      1   
  1 + -   
      x   
----------
x + log(x)

$$\frac{1 + \frac{1}{x}}{x + \log{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

 /             2 \ 
 |      /    1\  | 
 |      |1 + -|  | 
 |1     \    x/  | 
-|-- + ----------| 
 | 2   x + log(x)| 
 \x              / 
-------------------
     x + log(x)    

$$- \frac{\frac{\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}{x + \log{\left (x \right )}} + \frac{1}{x^{2}}}{x + \log{\left (x \right )}}$$

Третья производная

                3                   
         /    1\          /    1\   
       2*|1 + -|        3*|1 + -|   
2        \    x/          \    x/   
-- + ------------- + ---------------
 3               2    2             
x    (x + log(x))    x *(x + log(x))
------------------------------------
             x + log(x)             

$$\frac{1}{x + \log{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3}}{\left(x + \log{\left (x \right )}\right)^{2}} + \frac{3 + \frac{3}{x}}{x^{2} \left(x + \log{\left (x \right )}\right)} + \frac{2}{x^{3}}\right)$$