Производная n/(1+n*x)

Вы ввели

   n   
-------
1 + n*x

$$\frac{n}{n x + 1}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = n x + 1$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(n x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $n x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $n$

         В результате: $n$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{n}{\left(n x + 1\right)^{2}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{n^{2}}{\left(n x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{n^{2}}{\left(n x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

     2    
   -n     
----------
         2
(1 + n*x) 

$$- \frac{n^{2}}{\left(n x + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

      3   
   2*n    
----------
         3
(1 + n*x) 

$$\frac{2 n^{3}}{\left(n x + 1\right)^{3}}$$

Третья производная

      4   
  -6*n    
----------
         4
(1 + n*x) 

$$- \frac{6 n^{4}}{\left(n x + 1\right)^{4}}$$