Производная 1/(log(a/x))

Вы ввели

  1   
------
   /a\
log|-|
   \x/

$$\frac{1}{\log{\left (\frac{a}{x} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\frac{a}{x} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x} \log{\left (\frac{a}{x} \right )}$:

   1. Заменим $u = \frac{a}{x}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{a}{x}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{a}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{1}{x}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1}{x \log^{2}{\left (\frac{a}{x} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \log^{2}{\left (\frac{a}{x} \right )}}$

Первая производная

    1    
---------
     2/a\
x*log |-|
      \x/

$$\frac{1}{x \log^{2}{\left (\frac{a}{x} \right )}}$$

Вторая производная

       2   
-1 + ------
        /a\
     log|-|
        \x/
-----------
  2    2/a\
 x *log |-|
        \x/

$$\frac{-1 + \frac{2}{\log{\left (\frac{a}{x} \right )}}}{x^{2} \log^{2}{\left (\frac{a}{x} \right )}}$$

Третья производная

  /      3         3   \
2*|1 - ------ + -------|
  |       /a\      2/a\|
  |    log|-|   log |-||
  \       \x/       \x//
------------------------
        3    2/a\       
       x *log |-|       
              \x/       

$$\frac{1}{x^{3} \log^{2}{\left (\frac{a}{x} \right )}} \left(2 - \frac{6}{\log{\left (\frac{a}{x} \right )}} + \frac{6}{\log^{2}{\left (\frac{a}{x} \right )}}\right)$$