Производная (x^2+5*x+15)/(-x-2)

Вы ввели

 2           
x  + 5*x + 15
-------------
    -x - 2   

$$\frac{x^{2} + 5 x + 15}{- x - 2}$$

  / 2           \
d |x  + 5*x + 15|
--|-------------|
dx\    -x - 2   /

$$\frac{d}{d x} \frac{x^{2} + 5 x + 15}{- x - 2}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2} + 5 x + 15$ и $g{\left(x \right)} = - x - 2$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 5 x + 15$ почленно:

      1. Производная постоянной $15$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      3. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $5$

      В результате: $2 x + 5$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $- x - 2$ почленно:

      1. Производная постоянной $-2$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $-1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{x^{2} + 5 x + \left(- x - 2\right) \left(2 x + 5\right) + 15}{\left(- x - 2\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- x^{2} - 4 x + 5}{x^{2} + 4 x + 4}$

---

Ответ:

$\frac{- x^{2} - 4 x + 5}{x^{2} + 4 x + 4}$

Первая производная

           2           
5 + 2*x   x  + 5*x + 15
------- + -------------
 -x - 2             2  
            (-x - 2)   

$$\frac{2 x + 5}{- x - 2} + \frac{x^{2} + 5 x + 15}{\left(- x - 2\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /                     2      \
  |     5 + 2*x   15 + x  + 5*x|
2*|-1 + ------- - -------------|
  |      2 + x              2  |
  \                  (2 + x)   /
--------------------------------
             2 + x              

$$\frac{2 \left(-1 + \frac{2 x + 5}{x + 2} - \frac{x^{2} + 5 x + 15}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{x + 2}$$

Третья производная

  /          2                \
  |    15 + x  + 5*x   5 + 2*x|
6*|1 + ------------- - -------|
  |              2      2 + x |
  \       (2 + x)             /
-------------------------------
                   2           
            (2 + x)            

$$\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2 x + 5}{x + 2} + \frac{x^{2} + 5 x + 15}{\left(x + 2\right)^{2}}\right)}{\left(x + 2\right)^{2}}$$

График