Производная 1/log(1+x)

Вы ввели

    1     
----------
log(1 + x)

$$\frac{1}{\log{\left (x + 1 \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (x + 1 \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x + 1 \right )}$:

   1. Заменим $u = x + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x + 1}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1}{\left(x + 1\right) \log^{2}{\left (x + 1 \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\left(x + 1\right) \log^{2}{\left (x + 1 \right )}}$

Первая производная

        -1         
-------------------
           2       
(1 + x)*log (1 + x)

$$- \frac{1}{\left(x + 1\right) \log^{2}{\left (x + 1 \right )}}$$

Вторая производная

           2        
   1 + ----------   
       log(1 + x)   
--------------------
       2    2       
(1 + x) *log (1 + x)

$$\frac{1 + \frac{2}{\log{\left (x + 1 \right )}}}{\left(x + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (x + 1 \right )}}$$

Третья производная

   /        3             3     \
-2*|1 + ---------- + -----------|
   |    log(1 + x)      2       |
   \                 log (1 + x)/
---------------------------------
              3    2             
       (1 + x) *log (1 + x)      

$$- \frac{2 + \frac{6}{\log{\left (x + 1 \right )}} + \frac{6}{\log^{2}{\left (x + 1 \right )}}}{\left(x + 1\right)^{3} \log^{2}{\left (x + 1 \right )}}$$