Производная 1/(1-1/y)

Вы ввели

  1  
-----
    1
1 - -
    y

$$\frac{1}{1 - \frac{1}{y}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 - \frac{1}{y}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d y}\left(1 - \frac{1}{y}\right)$:

   1. дифференцируем $1 - \frac{1}{y}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{y}$ получим $- \frac{1}{y^{2}}$

         Таким образом, в результате: $\frac{1}{y^{2}}$

      В результате: $\frac{1}{y^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1}{y^{2} \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\left(y - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\left(y - 1\right)^{2}}$

Первая производная

    -1     
-----------
          2
 2 /    1\ 
y *|1 - -| 
   \    y/ 

$$- \frac{1}{y^{2} \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /        1    \
2*|1 + ---------|
  |      /    1\|
  |    y*|1 - -||
  \      \    y//
-----------------
             2   
    3 /    1\    
   y *|1 - -|    
      \    y/    

$$\frac{2 + \frac{2}{y \left(1 - \frac{1}{y}\right)}}{y^{3} \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{2}}$$

Третья производная

   /         1            2    \
-6*|1 + ----------- + ---------|
   |              2     /    1\|
   |     2 /    1\    y*|1 - -||
   |    y *|1 - -|      \    y/|
   \       \    y/             /
--------------------------------
                    2           
           4 /    1\            
          y *|1 - -|            
             \    y/            

$$- \frac{1}{y^{4} \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{2}} \left(6 + \frac{12}{y \left(1 - \frac{1}{y}\right)} + \frac{6}{y^{2} \left(1 - \frac{1}{y}\right)^{2}}\right)$$