Производная 1/(sin(4*x))

Вы ввели

     1    
1*--------
  sin(4*x)

$$1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(4 x \right)}}$$

d /     1    \
--|1*--------|
dx\  sin(4*x)/

$$\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(4 x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(4 x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = 4 x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} 4 x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $4$

      В результате последовательности правил:

      $4 \cos{\left(4 x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}$

Первая производная

-4*cos(4*x)
-----------
    2      
 sin (4*x) 

$$- \frac{4 \cos{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}$$

Вторая производная

   /         2     \
   |    2*cos (4*x)|
16*|1 + -----------|
   |        2      |
   \     sin (4*x) /
--------------------
      sin(4*x)      

$$\frac{16 \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}\right)}{\sin{\left(4 x \right)}}$$

Третья производная

    /         2     \         
    |    6*cos (4*x)|         
-64*|5 + -----------|*cos(4*x)
    |        2      |         
    \     sin (4*x) /         
------------------------------
             2                
          sin (4*x)           

$$- \frac{64 \cdot \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}\right) \cos{\left(4 x \right)}}{\sin^{2}{\left(4 x \right)}}$$

График