Производная 1/sin(x^2)

Вы ввели

   1   
-------
   / 2\
sin\x /

$$\frac{1}{\sin{\left (x^{2} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (x^{2} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x^{2} \right )}$:

   1. Заменим $u = x^{2}$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} x^{2}$:

      1. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате последовательности правил:

      $2 x \cos{\left (x^{2} \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 x \cos{\left (x^{2} \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{2} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 x \cos{\left (x^{2} \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{2} \right )}}$

Первая производная

        / 2\
-2*x*cos\x /
------------
     2/ 2\  
  sin \x /  

$$- \frac{2 x \cos{\left (x^{2} \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{2} \right )}}$$

Вторая производная

  /          / 2\      2    2/ 2\\
  |   2   cos\x /   4*x *cos \x /|
2*|2*x  - ------- + -------------|
  |          / 2\         2/ 2\  |
  \       sin\x /      sin \x /  /
----------------------------------
                / 2\              
             sin\x /              

$$\frac{1}{\sin{\left (x^{2} \right )}} \left(4 x^{2} + \frac{8 x^{2} \cos^{2}{\left (x^{2} \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{2} \right )}} - \frac{2 \cos{\left (x^{2} \right )}}{\sin{\left (x^{2} \right )}}\right)$$

Третья производная

    /         2/ 2\       2    3/ 2\       2    / 2\\
    |    6*cos \x /   12*x *cos \x /   10*x *cos\x /|
4*x*|3 + ---------- - -------------- - -------------|
    |        2/ 2\          3/ 2\            / 2\   |
    \     sin \x /       sin \x /         sin\x /   /
-----------------------------------------------------
                          / 2\                       
                       sin\x /                       

$$\frac{4 x}{\sin{\left (x^{2} \right )}} \left(- \frac{10 x^{2} \cos{\left (x^{2} \right )}}{\sin{\left (x^{2} \right )}} - \frac{12 x^{2} \cos^{3}{\left (x^{2} \right )}}{\sin^{3}{\left (x^{2} \right )}} + 3 + \frac{6 \cos^{2}{\left (x^{2} \right )}}{\sin^{2}{\left (x^{2} \right )}}\right)$$