Производная 1/sin(x)^2

Вы ввели

   1   
-------
   2   
sin (x)

$$\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin^{2}{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin^{2}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $2 \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$

Первая производная

  -2*cos(x)   
--------------
          2   
sin(x)*sin (x)

$$- \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

  /         2   \
  |    3*cos (x)|
2*|1 + ---------|
  |        2    |
  \     sin (x) /
-----------------
        2        
     sin (x)     

$$\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(2 + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

   /         2   \       
   |    3*cos (x)|       
-8*|2 + ---------|*cos(x)
   |        2    |       
   \     sin (x) /       
-------------------------
            3            
         sin (x)         

$$- \frac{8 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \left(2 + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$