Производная (1+m*x)^n

Вы ввели

         n
(1 + m*x) 

$$\left(m x + 1\right)^{n}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = m x + 1$.

2. В силу правила, применим: $u^{n}$ получим $\frac{n u^{n}}{u}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x}\left(m x + 1\right)$:

   1. дифференцируем $m x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $m$

      В результате: $m$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{m n \left(m x + 1\right)^{n}}{m x + 1}$

4. Теперь упростим:

   $m n \left(m x + 1\right)^{n - 1}$

---

Ответ:

$m n \left(m x + 1\right)^{n - 1}$

Первая производная

             n
m*n*(1 + m*x) 
--------------
   1 + m*x    

$$\frac{m n \left(m x + 1\right)^{n}}{m x + 1}$$

Вторая производная

   2          n         
n*m *(1 + m*x) *(-1 + n)
------------------------
                2       
       (1 + m*x)        

$$\frac{m^{2} n \left(m x + 1\right)^{n}}{\left(m x + 1\right)^{2}} \left(n - 1\right)$$

Третья производная

   3          n /     2      \
n*m *(1 + m*x) *\2 + n  - 3*n/
------------------------------
                   3          
          (1 + m*x)           

$$\frac{m^{3} n \left(m x + 1\right)^{n}}{\left(m x + 1\right)^{3}} \left(n^{2} - 3 n + 2\right)$$