Производная (1+x^2)*(3-1/x^3)

Вы ввели

/     2\ /    1 \
\1 + x /*|3 - --|
         |     3|
         \    x /

$$\left(3 - \frac{1}{x^{3}}\right) \left(x^{2} + 1\right)$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \left(x^{2} + 1\right) \left(3 x^{3} - 1\right)$ и $g{\left (x \right )} = x^{3}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x^{2} + 1$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате: $2 x$

      $g{\left (x \right )} = 3 x^{3} - 1$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $3 x^{3} - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

            Таким образом, в результате: $9 x^{2}$

         В результате: $9 x^{2}$

      В результате: $9 x^{2} \left(x^{2} + 1\right) + 2 x \left(3 x^{3} - 1\right)$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x^{3}$ получим $3 x^{2}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{6}} \left(x^{3} \left(9 x^{2} \left(x^{2} + 1\right) + 2 x \left(3 x^{3} - 1\right)\right) - 3 x^{2} \left(x^{2} + 1\right) \left(3 x^{3} - 1\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{4}} \left(6 x^{5} + x^{2} + 3\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{4}} \left(6 x^{5} + x^{2} + 3\right)$

Первая производная

                 /     2\
    /    1 \   3*\1 + x /
2*x*|3 - --| + ----------
    |     3|        4    
    \    x /       x     

$$2 x \left(3 - \frac{1}{x^{3}}\right) + \frac{1}{x^{4}} \left(3 x^{2} + 3\right)$$

Вторая производная

  /           /     2\\
  |    5    6*\1 + x /|
2*|3 + -- - ----------|
  |     3        5    |
  \    x        x     /

$$2 \left(3 + \frac{5}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}} \left(6 x^{2} + 6\right)\right)$$

Третья производная

  /        /     2\\
  |     10*\1 + x /|
6*|-9 + -----------|
  |           2    |
  \          x     /
--------------------
          4         
         x          

$$\frac{1}{x^{4}} \left(-54 + \frac{1}{x^{2}} \left(60 x^{2} + 60\right)\right)$$