Производная 5*cot(log(1+x))

Вы ввели

5*cot(log(1 + x))

$$5 \cot{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \log{\left (x + 1 \right )}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x + 1 \right )}$:

         1. Заменим $u = x + 1$.

         2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

            1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

               1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

               2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               В результате: $1$

            В результате последовательности правил:

            $\frac{1}{x + 1}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{\left(x + 1\right) \sin^{2}{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{\frac{5}{x + 1} \sin^{2}{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )} + \frac{5}{x + 1} \cos^{2}{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )}}{\cos^{2}{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )} \tan^{2}{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{5}{\left(x + 1\right) \sin^{2}{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{5}{\left(x + 1\right) \sin^{2}{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )}}$

Первая производная

  /        2            \
5*\-1 - cot (log(1 + x))/
-------------------------
          1 + x          

$$\frac{1}{x + 1} \left(- 5 \cot^{2}{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )} - 5\right)$$

Вторая производная

  /       2            \                        
5*\1 + cot (log(1 + x))/*(1 + 2*cot(log(1 + x)))
------------------------------------------------
                           2                    
                    (1 + x)                     

$$\frac{5}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(2 \cot{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )} + 1\right)$$

Третья производная

    /       2            \ /         2                                \
-10*\1 + cot (log(1 + x))/*\2 + 3*cot (log(1 + x)) + 3*cot(log(1 + x))/
-----------------------------------------------------------------------
                                       3                               
                                (1 + x)                                

$$- \frac{10}{\left(x + 1\right)^{3}} \left(\cot^{2}{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )} + 3 \cot{\left (\log{\left (x + 1 \right )} \right )} + 2\right)$$