Производная 5^(cos(x))*cos(5*x)

Вы ввели

 cos(x)         
5      *cos(5*x)

$$5^{\cos{\left (x \right )}} \cos{\left (5 x \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = 5^{\cos{\left (x \right )}}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left (5 \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- 5^{\cos{\left (x \right )}} \log{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )}$

   $g{\left (x \right )} = \cos{\left (5 x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = 5 x$.

   2. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(5 x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $5$

      В результате последовательности правил:

      $- 5 \sin{\left (5 x \right )}$

   В результате: $- 5^{\cos{\left (x \right )}} \log{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} - 5 \cdot 5^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (5 x \right )}$

2. Теперь упростим:

   $- 5^{\cos{\left (x \right )}} \left(\log{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} + 5 \sin{\left (5 x \right )}\right)$

---

Ответ:

$- 5^{\cos{\left (x \right )}} \left(\log{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} + 5 \sin{\left (5 x \right )}\right)$

Первая производная

     cos(x)             cos(x)                       
- 5*5      *sin(5*x) - 5      *cos(5*x)*log(5)*sin(x)

$$- 5^{\cos{\left (x \right )}} \log{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} - 5 \cdot 5^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (5 x \right )}$$

Вторая производная

 cos(x) /                  2       2                                                                 \
5      *\-25*cos(5*x) + log (5)*sin (x)*cos(5*x) - cos(x)*cos(5*x)*log(5) + 10*log(5)*sin(x)*sin(5*x)/

$$5^{\cos{\left (x \right )}} \left(\log^{2}{\left (5 \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} + 10 \log{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )} \sin{\left (5 x \right )} - \log{\left (5 \right )} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} - 25 \cos{\left (5 x \right )}\right)$$

Третья производная

 cos(x) /                  3       3                     2       2                                                                            2                          \
5      *\125*sin(5*x) - log (5)*sin (x)*cos(5*x) - 15*log (5)*sin (x)*sin(5*x) + 15*cos(x)*log(5)*sin(5*x) + 76*cos(5*x)*log(5)*sin(x) + 3*log (5)*cos(x)*cos(5*x)*sin(x)/

$$5^{\cos{\left (x \right )}} \left(- \log^{3}{\left (5 \right )} \sin^{3}{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} - 15 \log^{2}{\left (5 \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} \sin{\left (5 x \right )} + 3 \log^{2}{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} + 76 \log{\left (5 \right )} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (5 x \right )} + 15 \log{\left (5 \right )} \sin{\left (5 x \right )} \cos{\left (x \right )} + 125 \sin{\left (5 x \right )}\right)$$

График