Производная 5^tan(cbrt(x))

Вы ввели

    /3 ___\
 tan\\/ x /
5          

$$5^{\tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )}$.

2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left (5 \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \sqrt[3]{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt[3]{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\sqrt[3]{x}$ получим $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}} \cos^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{5^{\tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )}} \log{\left (5 \right )}}{\cos^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}} \left(\frac{\sin^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}{3 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{\cos^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}{3 x^{\frac{2}{3}}}\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{5^{\tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )}} \log{\left (5 \right )}}{3 x^{\frac{2}{3}} \cos^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{5^{\tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )}} \log{\left (5 \right )}}{3 x^{\frac{2}{3}} \cos^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}$

Первая производная

    /3 ___\                         
 tan\\/ x / /       2/3 ___\\       
5          *\1 + tan \\/ x //*log(5)
------------------------------------
                  2/3               
               3*x                  

$$\frac{5^{\tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}}{3 x^{\frac{2}{3}}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )}$$

Вторая производная

    /3 ___\                                                                             
 tan\\/ x / /       2/3 ___\\ /    2          /3 ___\   /       2/3 ___\\       \       
5          *\1 + tan \\/ x //*|- ----- + 2*tan\\/ x / + \1 + tan \\/ x //*log(5)|*log(5)
                              |  3 ___                                          |       
                              \  \/ x                                           /       
----------------------------------------------------------------------------------------
                                            4/3                                         
                                         9*x                                            

$$\frac{5^{\tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )}}}{9 x^{\frac{4}{3}}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )} + 2 \tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}}\right) \log{\left (5 \right )}$$

Третья производная

                              /                                                                              2                                                                             \       
    /3 ___\                   |             /3 ___\     /       2/3 ___\\        2/3 ___\   /       2/3 ___\\     2        /       2/3 ___\\            /       2/3 ___\\           /3 ___\|       
 tan\\/ x / /       2/3 ___\\ | 10    12*tan\\/ x /   2*\1 + tan \\/ x //   4*tan \\/ x /   \1 + tan \\/ x // *log (5)   6*\1 + tan \\/ x //*log(5)   6*\1 + tan \\/ x //*log(5)*tan\\/ x /|       
5          *\1 + tan \\/ x //*|---- - ------------- + ------------------- + ------------- + -------------------------- - -------------------------- + -------------------------------------|*log(5)
                              | 8/3         7/3                 2                  2                     2                           7/3                                 2                 |       
                              \x           x                   x                  x                     x                           x                                   x                  /       
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                 27                                                                                                

$$\frac{1}{27} 5^{\tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right) \left(\frac{1}{x^{2}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right)^{2} \log^{2}{\left (5 \right )} + \frac{6}{x^{2}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )} \tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(2 \tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 2\right) + \frac{4}{x^{2}} \tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} - \frac{6}{x^{\frac{7}{3}}} \left(\tan^{2}{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + 1\right) \log{\left (5 \right )} - \frac{12}{x^{\frac{7}{3}}} \tan{\left (\sqrt[3]{x} \right )} + \frac{10}{x^{\frac{8}{3}}}\right) \log{\left (5 \right )}$$