Производная (6/5)^(x-1)/x

Вы ввели

   x - 1
6/5     
--------
   x    

$$\frac{1}{x} \left(\frac{6}{5}\right)^{x - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = 6^{x - 1}$ и $g{\left (x \right )} = 5^{x - 1} x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x - 1$.

   2. $\frac{d}{d u} 6^{u} = 6^{u} \log{\left (6 \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $6^{x - 1} \log{\left (6 \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = 5^{x - 1}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = x - 1$.

      2. $\frac{d}{d u} 5^{u} = 5^{u} \log{\left (5 \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 1\right)$:

         1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате последовательности правил:

         $5^{x - 1} \log{\left (5 \right )}$

      В результате: $5^{x - 1} x \log{\left (5 \right )} + 5^{x - 1}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} 5^{- 2 x + 2} \left(30^{x - 1} x \log{\left (6 \right )} - 6^{x - 1} \left(5^{x - 1} x \log{\left (5 \right )} + 5^{x - 1}\right)\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{5 \left(\frac{6}{5}\right)^{x}}{6 x^{2}} \left(x \left(- \log{\left (5 \right )} + \log{\left (6 \right )}\right) - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{5 \left(\frac{6}{5}\right)^{x}}{6 x^{2}} \left(x \left(- \log{\left (5 \right )} + \log{\left (6 \right )}\right) - 1\right)$

Первая производная

     x - 1      x - 1                   
  6/5        6/5     *(-log(5) + log(6))
- -------- + ---------------------------
      2                   x             
     x                                  

$$\frac{1}{x} \left(\frac{6}{5}\right)^{x - 1} \left(- \log{\left (5 \right )} + \log{\left (6 \right )}\right) - \frac{1}{x^{2}} \left(\frac{6}{5}\right)^{x - 1}$$

Вторая производная

     x /                  2   2    2*(-log(6) + log(5))\
5*6/5 *|(-log(6) + log(5))  + -- + --------------------|
       |                       2            x          |
       \                      x                        /
--------------------------------------------------------
                          6*x                           

$$\frac{5 \left(\frac{6}{5}\right)^{x}}{6 x} \left(\left(- \log{\left (6 \right )} + \log{\left (5 \right )}\right)^{2} + \frac{1}{x} \left(- 2 \log{\left (6 \right )} + 2 \log{\left (5 \right )}\right) + \frac{2}{x^{2}}\right)$$

Третья производная

        /                       3                                        2\
      x |1    (-log(6) + log(5))    -log(6) + log(5)   (-log(6) + log(5)) |
-5*6/5 *|-- + ------------------- + ---------------- + -------------------|
        | 3            6                    2                  2*x        |
        \x                                 x                              /
---------------------------------------------------------------------------
                                     x                                     

$$- \frac{5 \left(\frac{6}{5}\right)^{x}}{x} \left(\frac{1}{6} \left(- \log{\left (6 \right )} + \log{\left (5 \right )}\right)^{3} + \frac{1}{2 x} \left(- \log{\left (6 \right )} + \log{\left (5 \right )}\right)^{2} + \frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (6 \right )} + \log{\left (5 \right )}\right) + \frac{1}{x^{3}}\right)$$