Производная sin(pi/(8-x))

Вы ввели

   /  pi \
sin|-----|
   \8 - x/

$$\sin{\left (\frac{\pi}{- x + 8} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{\pi}{- x + 8}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{\pi}{- x + 8}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = - x + 8$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x + 8\right)$:

         1. дифференцируем $- x + 8$ почленно:

            1. Производная постоянной $8$ равна нулю.

            2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $-1$

            В результате: $-1$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{1}{\left(- x + 8\right)^{2}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{\pi}{\left(- x + 8\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\pi \cos{\left (\frac{\pi}{- x + 8} \right )}}{\left(- x + 8\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\pi}{\left(x - 8\right)^{2}} \cos{\left (\frac{\pi}{x - 8} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{\pi}{\left(x - 8\right)^{2}} \cos{\left (\frac{\pi}{x - 8} \right )}$

Первая производная

      /  pi \
pi*cos|-----|
      \8 - x/
-------------
          2  
   (8 - x)   

$$\frac{\pi \cos{\left (\frac{\pi}{- x + 8} \right )}}{\left(- x + 8\right)^{2}}$$

Вторая производная

   /                        /  pi  \\
   |                  pi*sin|------||
   |       /  pi  \         \-8 + x/|
pi*|- 2*cos|------| + --------------|
   \       \-8 + x/       -8 + x    /
-------------------------------------
                      3              
              (-8 + x)               

$$\frac{\pi}{\left(x - 8\right)^{3}} \left(- 2 \cos{\left (\frac{\pi}{x - 8} \right )} + \frac{\pi}{x - 8} \sin{\left (\frac{\pi}{x - 8} \right )}\right)$$

Третья производная

   /                  2    /  pi  \           /  pi  \\
   |                pi *cos|------|   6*pi*sin|------||
   |     /  pi  \          \-8 + x/           \-8 + x/|
pi*|6*cos|------| - --------------- - ----------------|
   |     \-8 + x/              2           -8 + x     |
   \                   (-8 + x)                       /
-------------------------------------------------------
                               4                       
                       (-8 + x)                        

$$\frac{\pi}{\left(x - 8\right)^{4}} \left(6 \cos{\left (\frac{\pi}{x - 8} \right )} - \frac{6 \pi}{x - 8} \sin{\left (\frac{\pi}{x - 8} \right )} - \frac{\pi^{2}}{\left(x - 8\right)^{2}} \cos{\left (\frac{\pi}{x - 8} \right )}\right)$$