Производная sin(e^(cos(x)))

Вы ввели

   / cos(x)\
sin\E      /

$$\sin{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = e^{\cos{\left (x \right )}}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} e^{\cos{\left (x \right )}}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- e^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- e^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $- e^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )}$

---

Ответ:

$- e^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )}$

Первая производная

    / cos(x)\  cos(x)       
-cos\E      /*e      *sin(x)

$$- e^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )} \cos{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )}$$

Вторая производная

/   2       / cos(x)\             / cos(x)\      2     cos(x)    / cos(x)\\  cos(x)
\sin (x)*cos\E      / - cos(x)*cos\E      / - sin (x)*e      *sin\E      //*e      

$$\left(- e^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} + \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )} - \cos{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )} \cos{\left (x \right )}\right) e^{\cos{\left (x \right )}}$$

Третья производная

/     2       / cos(x)\               / cos(x)\      2       / cos(x)\  2*cos(x)             cos(x)    / cos(x)\        2     cos(x)    / cos(x)\      / cos(x)\\  cos(x)       
\- sin (x)*cos\E      / + 3*cos(x)*cos\E      / + sin (x)*cos\E      /*e         - 3*cos(x)*e      *sin\E      / + 3*sin (x)*e      *sin\E      / + cos\E      //*e      *sin(x)

$$\left(e^{2 \cos{\left (x \right )}} \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )} + 3 e^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )} - 3 e^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )} \cos{\left (x \right )} - \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )} + 3 \cos{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )} \cos{\left (x \right )} + \cos{\left (e^{\cos{\left (x \right )}} \right )}\right) e^{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$$