Производная sin(sqrt(x))

Вы ввели

   /  ___\
sin\\/ x /

$$\sin{\left(\sqrt{x} \right)}$$

d /   /  ___\\
--\sin\\/ x //
dx            

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sqrt{x}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

   1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

Первая производная

   /  ___\
cos\\/ x /
----------
     ___  
 2*\/ x   

$$\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$$

Вторая производная

 /   /  ___\      /  ___\\ 
 |sin\\/ x /   cos\\/ x /| 
-|---------- + ----------| 
 |    x            3/2   | 
 \                x      / 
---------------------------
             4             

$$- \frac{\frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} + \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}}{4}$$

Третья производная

     /  ___\        /  ___\        /  ___\
  cos\\/ x /   3*sin\\/ x /   3*cos\\/ x /
- ---------- + ------------ + ------------
      3/2            2             5/2    
     x              x             x       
------------------------------------------
                    8                     

$$\frac{\frac{3 \sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{5}{2}}}}{8}$$

График