Производная sin(tan(sqrt(x)))

Вы ввели

   /   /  ___\\
sin\tan\\/ x //

$$\sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}$$

d /   /   /  ___\\\
--\sin\tan\\/ x ///
dx                 

$$\frac{d}{d x} \sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}$:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(\sqrt{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\sqrt{x} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\sqrt{x} \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \sqrt{x}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\cos{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Заменим $u = \sqrt{x}$.

      2. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sqrt{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\sqrt{x}$ получим $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\sin{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{2 \sqrt{x}}\right) \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{2 \sqrt{x} \cos^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}$

Первая производная

/       2/  ___\\    /   /  ___\\
\1 + tan \\/ x //*cos\tan\\/ x //
---------------------------------
                 ___             
             2*\/ x              

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{2 \sqrt{x}}$$

Вторая производная

                  /     /   /  ___\\   /       2/  ___\\    /   /  ___\\        /   /  ___\\    /  ___\\
/       2/  ___\\ |  cos\tan\\/ x //   \1 + tan \\/ x //*sin\tan\\/ x //   2*cos\tan\\/ x //*tan\\/ x /|
\1 + tan \\/ x //*|- --------------- - --------------------------------- + ----------------------------|
                  |         3/2                        x                                x              |
                  \        x                                                                           /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                   4                                                    

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x} + \frac{2 \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{x} - \frac{\cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}}\right)}{4}$$

Третья производная

                  /                                     2                                                                                                                                                                                                            \
                  |     /   /  ___\\   /       2/  ___\\     /   /  ___\\        /   /  ___\\    /  ___\     /       2/  ___\\    /   /  ___\\     /       2/  ___\\    /   /  ___\\        2/  ___\    /   /  ___\\     /       2/  ___\\    /   /  ___\\    /  ___\|
/       2/  ___\\ |3*cos\tan\\/ x //   \1 + tan \\/ x // *cos\tan\\/ x //   6*cos\tan\\/ x //*tan\\/ x /   2*\1 + tan \\/ x //*cos\tan\\/ x //   3*\1 + tan \\/ x //*sin\tan\\/ x //   4*tan \\/ x /*cos\tan\\/ x //   6*\1 + tan \\/ x //*sin\tan\\/ x //*tan\\/ x /|
\1 + tan \\/ x //*|----------------- - ---------------------------------- - ---------------------------- + ----------------------------------- + ----------------------------------- + ----------------------------- - ----------------------------------------------|
                  |        5/2                         3/2                                2                                 3/2                                    2                                 3/2                                     3/2                     |
                  \       x                           x                                  x                                 x                                      x                                 x                                       x                        /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                  8                                                                                                                                   

$$\frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \left(\frac{3 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{2}} - \frac{6 \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right)^{2} \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \sin{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} \tan{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)} + 1\right) \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{4 \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)} \tan^{2}{\left(\sqrt{x} \right)}}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{3 \cos{\left(\tan{\left(\sqrt{x} \right)} \right)}}{x^{\frac{5}{2}}}\right)}{8}$$

График