Производная sin(x+log(x))

Вы ввели

sin(x + log(x))

$$\sin{\left (x + \log{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x + \log{\left (x \right )}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + \log{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $x + \log{\left (x \right )}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате: $1 + \frac{1}{x}$

   В результате последовательности правил:

   $\left(1 + \frac{1}{x}\right) \cos{\left (x + \log{\left (x \right )} \right )}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \cos{\left (x + \log{\left (x \right )} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x} \left(x + 1\right) \cos{\left (x + \log{\left (x \right )} \right )}$

Первая производная

/    1\                
|1 + -|*cos(x + log(x))
\    x/                

$$\left(1 + \frac{1}{x}\right) \cos{\left (x + \log{\left (x \right )} \right )}$$

Вторая производная

 /                         2                \
 |cos(x + log(x))   /    1\                 |
-|--------------- + |1 + -| *sin(x + log(x))|
 |        2         \    x/                 |
 \       x                                  /

$$- \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2} \sin{\left (x + \log{\left (x \right )} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \cos{\left (x + \log{\left (x \right )} \right )}$$

Третья производная

                                                   /    1\                
         3                                       3*|1 + -|*sin(x + log(x))
  /    1\                    2*cos(x + log(x))     \    x/                
- |1 + -| *cos(x + log(x)) + ----------------- + -------------------------
  \    x/                             3                       2           
                                     x                       x            

$$- \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{3} \cos{\left (x + \log{\left (x \right )} \right )} + \frac{3}{x^{2}} \left(1 + \frac{1}{x}\right) \sin{\left (x + \log{\left (x \right )} \right )} + \frac{2}{x^{3}} \cos{\left (x + \log{\left (x \right )} \right )}$$