Производная sin(x*cos(x))

Вы ввели

sin(x*cos(x))

$$\sin{\left (x \cos{\left (x \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x \cos{\left (x \right )}$.

2. Производная синуса есть косинус:

   $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x \cos{\left (x \right )}\right)$:

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате: $- x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\left(- x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) \cos{\left (x \cos{\left (x \right )} \right )}$

---

Ответ:

$\left(- x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) \cos{\left (x \cos{\left (x \right )} \right )}$

Первая производная

(-x*sin(x) + cos(x))*cos(x*cos(x))

$$\left(- x \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right) \cos{\left (x \cos{\left (x \right )} \right )}$$

Вторая производная

 /                    2                                                    \
-\(-cos(x) + x*sin(x)) *sin(x*cos(x)) + (2*sin(x) + x*cos(x))*cos(x*cos(x))/

$$- \left(x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2} \sin{\left (x \cos{\left (x \right )} \right )} + \left(x \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )}\right) \cos{\left (x \cos{\left (x \right )} \right )}$$

Третья производная

                    3                                                                                                                  
(-cos(x) + x*sin(x)) *cos(x*cos(x)) + (-3*cos(x) + x*sin(x))*cos(x*cos(x)) - 3*(-cos(x) + x*sin(x))*(2*sin(x) + x*cos(x))*sin(x*cos(x))

$$\left(x \sin{\left (x \right )} - 3 \cos{\left (x \right )}\right) \cos{\left (x \cos{\left (x \right )} \right )} + \left(x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{3} \cos{\left (x \cos{\left (x \right )} \right )} - 3 \left(x \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right) \left(x \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )}\right) \sin{\left (x \cos{\left (x \right )} \right )}$$