Производная t-log(sin(t))

Вы ввели

t - log(sin(t))

$$t - \log{\left (\sin{\left (t \right )} \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $t - \log{\left (\sin{\left (t \right )} \right )}$ почленно:

   1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

   2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = \sin{\left (t \right )}$.

      2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d t} \sin{\left (t \right )} = \cos{\left (t \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $\frac{\cos{\left (t \right )}}{\sin{\left (t \right )}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{\cos{\left (t \right )}}{\sin{\left (t \right )}}$

   В результате: $1 - \frac{\cos{\left (t \right )}}{\sin{\left (t \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $1 - \frac{1}{\tan{\left (t \right )}}$

---

Ответ:

$1 - \frac{1}{\tan{\left (t \right )}}$

Первая производная

    cos(t)
1 - ------
    sin(t)

$$1 - \frac{\cos{\left (t \right )}}{\sin{\left (t \right )}}$$

Вторая производная

       2   
    cos (t)
1 + -------
       2   
    sin (t)

$$1 + \frac{\cos^{2}{\left (t \right )}}{\sin^{2}{\left (t \right )}}$$

Третья производная

   /       2   \       
   |    cos (t)|       
-2*|1 + -------|*cos(t)
   |       2   |       
   \    sin (t)/       
-----------------------
         sin(t)        

$$- \frac{2 \cos{\left (t \right )}}{\sin{\left (t \right )}} \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (t \right )}}{\sin^{2}{\left (t \right )}}\right)$$