Производная tan(1/x)^(2)

Вы ввели

   2/1\
tan |-|
    \x/

$$\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (\frac{1}{x} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\frac{1}{x} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \tan{\left (\frac{1}{x} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}} \left(- \frac{1}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} - \frac{1}{x^{2}} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2 \tan{\left (\frac{1}{x} \right )}}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 \tan{\left (\frac{1}{x} \right )}}{x^{2} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}}$

Первая производная

   /       2/1\\    /1\
-2*|1 + tan |-||*tan|-|
   \        \x//    \x/
-----------------------
            2          
           x           

$$- \frac{2}{x^{2}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{1}{x} \right )}$$

Вторая производная

                /                  2/1\        2/1\\
                |           1 + tan |-|   2*tan |-||
  /       2/1\\ |     /1\           \x/         \x/|
2*|1 + tan |-||*|2*tan|-| + ----------- + ---------|
  \        \x// \     \x/        x            x    /
----------------------------------------------------
                          3                         
                         x                          

$$\frac{2}{x^{3}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(2 \tan{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) + \frac{2}{x} \tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$

Третья производная

                 /                3/1\     /       2/1\\        2/1\     /       2/1\\    /1\\
                 |           2*tan |-|   3*|1 + tan |-||   6*tan |-|   4*|1 + tan |-||*tan|-||
   /       2/1\\ |     /1\         \x/     \        \x//         \x/     \        \x//    \x/|
-4*|1 + tan |-||*|3*tan|-| + --------- + --------------- + --------- + ----------------------|
   \        \x// |     \x/        2             x              x                  2          |
                 \               x                                               x           /
----------------------------------------------------------------------------------------------
                                               4                                              
                                              x                                               

$$- \frac{4}{x^{4}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \left(3 \tan{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{1}{x} \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 3\right) + \frac{6}{x} \tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{4}{x^{2}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x} \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{1}{x} \right )} + \frac{2}{x^{2}} \tan^{3}{\left (\frac{1}{x} \right )}\right)$$