Производная tan(x)+sin(x)

Вы ввели

tan(x) + sin(x)

$$\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}$$

d                  
--(tan(x) + sin(x))
dx                 

$$\frac{d}{d x} \left(\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}\right)$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\sin{\left(x \right)} + \tan{\left(x \right)}$ почленно:

   1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

   2. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

   3. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

   В результате: $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \cos{\left(x \right)}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} + 4}{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{3 \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(3 x \right)} + 4}{4 \cos^{2}{\left(x \right)}}$

Первая производная

       2            
1 + tan (x) + cos(x)

$$\cos{\left(x \right)} + \tan^{2}{\left(x \right)} + 1$$

Вторая производная

            /       2   \       
-sin(x) + 2*\1 + tan (x)/*tan(x)

$$2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \sin{\left(x \right)}$$

Третья производная

                         2                          
            /       2   \         2    /       2   \
-cos(x) + 2*\1 + tan (x)/  + 4*tan (x)*\1 + tan (x)/

$$2 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 4 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} - \cos{\left(x \right)}$$

График