Производная tan(x^-2)^(7)

Вы ввели

   7/1 \
tan |--|
    | 2|
    \x /

$$\tan^{7}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \tan{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $u^{7}$ получим $7 u^{6}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$:

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{1}{x^{2}}$.

      2. $\frac{d}{d u} \tan{\left (u \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$:

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x^{2}}$ получим $- \frac{2}{x^{3}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2}{x^{3} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{7 \tan^{6}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}} \left(- \frac{2}{x^{3}} \sin^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} - \frac{2}{x^{3}} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}\right)$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{14 \tan^{6}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}}{x^{3} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{14 \tan^{6}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}}{x^{3} \cos^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}}$

Первая производная

       6/1 \ /       2/1 \\
-14*tan |--|*|1 + tan |--||
        | 2| |        | 2||
        \x / \        \x //
---------------------------
              3            
             x             

$$- \frac{14}{x^{3}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 1\right) \tan^{6}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$$

Вторая производная

                           /                 2/1 \      /       2/1 \\\
                           |            4*tan |--|   12*|1 + tan |--|||
                           |                  | 2|      |        | 2|||
      5/1 \ /       2/1 \\ |     /1 \         \x /      \        \x //|
14*tan |--|*|1 + tan |--||*|3*tan|--| + ---------- + -----------------|
       | 2| |        | 2|| |     | 2|        2                2       |
       \x / \        \x // \     \x /       x                x        /
-----------------------------------------------------------------------
                                    4                                  
                                   x                                   

$$\frac{14}{x^{4}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 1\right) \left(3 \tan{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + \frac{1}{x^{2}} \left(12 \tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 12\right) + \frac{4}{x^{2}} \tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}\right) \tan^{5}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$$

Третья производная

                            /                                                        2                                                         \
                            |                  4/1 \        3/1 \      /       2/1 \\       /       2/1 \\    /1 \         2/1 \ /       2/1 \\|
                            |             4*tan |--|   9*tan |--|   30*|1 + tan |--||    27*|1 + tan |--||*tan|--|   38*tan |--|*|1 + tan |--|||
                            |                   | 2|         | 2|      |        | 2||       |        | 2||    | 2|          | 2| |        | 2|||
       4/1 \ /       2/1 \\ |     2/1 \         \x /         \x /      \        \x //       \        \x //    \x /          \x / \        \x //|
-56*tan |--|*|1 + tan |--||*|3*tan |--| + ---------- + ---------- + ------------------ + ------------------------- + --------------------------|
        | 2| |        | 2|| |      | 2|        4            2                4                        2                           4            |
        \x / \        \x // \      \x /       x            x                x                        x                           x             /
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                        5                                                                       
                                                                       x                                                                        

$$- \frac{56}{x^{5}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + \frac{27}{x^{2}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 1\right) \tan{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + \frac{9}{x^{2}} \tan^{3}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + \frac{30}{x^{4}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 1\right)^{2} + \frac{38}{x^{4}} \left(\tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )} + \frac{4}{x^{4}} \tan^{4}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}\right) \tan^{4}{\left (\frac{1}{x^{2}} \right )}$$