Производная (((3*(x)-1))/((x)^2+3))^2

Вы ввели

         2
/3*x - 1\ 
|-------| 
|  2    | 
\ x  + 3/ 

$$\left(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}\right)^{2}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$.

2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = 3 x - 1$ и $g{\left (x \right )} = x^{2} + 3$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $3 x - 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $3$

         В результате: $3$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x^{2} + 3$ почленно:

         1. Производная постоянной $3$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате: $2 x$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{\left(x^{2} + 3\right)^{2}} \left(3 x^{2} - 2 x \left(3 x - 1\right) + 9\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2}{\left(x^{2} + 3\right) \left(x^{2} + 3\right)^{2}} \left(3 x - 1\right) \left(3 x^{2} - 2 x \left(3 x - 1\right) + 9\right)$

4. Теперь упростим:

   $\frac{2}{\left(x^{2} + 3\right)^{3}} \left(3 x - 1\right) \left(3 x^{2} - 2 x \left(3 x - 1\right) + 9\right)$

---

Ответ:

$\frac{2}{\left(x^{2} + 3\right)^{3}} \left(3 x - 1\right) \left(3 x^{2} - 2 x \left(3 x - 1\right) + 9\right)$

Первая производная

         2                                  
(3*x - 1)  / 2    \ /  6      4*x*(3*x - 1)\
----------*\x  + 3/*|------ - -------------|
        2           | 2                 2  |
/ 2    \            |x  + 3     / 2    \   |
\x  + 3/            \           \x  + 3/   /
--------------------------------------------
                  3*x - 1                   

$$\frac{\left(3 x - 1\right)^{2} \frac{1}{x^{2} + 3}}{3 x - 1} \left(- \frac{4 x \left(3 x - 1\right)}{\left(x^{2} + 3\right)^{2}} + \frac{6}{x^{2} + 3}\right)$$

Вторая производная

  /                                             /              2           \                                                        \
  |                                             |           4*x *(-1 + 3*x)|                                   /     2*x*(-1 + 3*x)\|
  |                                2*(-1 + 3*x)*|-1 + 9*x - ---------------|                    2*x*(-1 + 3*x)*|-3 + --------------||
  |                            2                |                     2    |                                   |              2    ||
  |       /     2*x*(-1 + 3*x)\                 \                3 + x     /   6*x*(-1 + 3*x)                  \         3 + x     /|
2*|-9 + 2*|-3 + --------------|  - ----------------------------------------- + -------------- - ------------------------------------|
  |       |              2    |                           2                             2                           2               |
  \       \         3 + x     /                      3 + x                         3 + x                       3 + x                /
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                      2                                                              
                                                              /     2\                                                               
                                                              \3 + x /                                                               

$$\frac{1}{\left(x^{2} + 3\right)^{2}} \left(- \frac{4 x}{x^{2} + 3} \left(3 x - 1\right) \left(\frac{2 x \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} - 3\right) + \frac{12 x \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} - \frac{4}{x^{2} + 3} \left(3 x - 1\right) \left(- \frac{4 x^{2} \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} + 9 x - 1\right) + 4 \left(\frac{2 x \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} - 3\right)^{2} - 18\right)$$

Третья производная

  /                                                   /                2                         2           2\                                                                               /        2                        3           \                                                                                                                            \
  |                         2   /     2*x*(-1 + 3*x)\ |    2*(-1 + 3*x)    24*x*(-1 + 3*x)   12*x *(-1 + 3*x) |                                                                               |    12*x     4*x*(-1 + 3*x)   8*x *(-1 + 3*x)|                            2                           /              2           \                                        |
  |    /     2*x*(-1 + 3*x)\    |-3 + --------------|*|9 - ------------- - --------------- + -----------------|              /     2*x*(-1 + 3*x)\       /     2*x*(-1 + 3*x)\   3*(-1 + 3*x)*|3 - ------ - -------------- + ---------------|       /     2*x*(-1 + 3*x)\      /     2*x*(-1 + 3*x)\ |           4*x *(-1 + 3*x)|      2            /     2*x*(-1 + 3*x)\|
  |  3*|-3 + --------------|    |              2    | |             2                2                   2    |   (-1 + 3*x)*|-3 + --------------|   6*x*|-3 + --------------|                |         2            2                  2   |   2*x*|-3 + --------------|    2*|-3 + --------------|*|-1 + 9*x - ---------------|   4*x *(-1 + 3*x)*|-3 + --------------||
  |    |              2    |    \         3 + x     / |        3 + x            3 + x            /     2\     |              |              2    |       |              2    |                |    3 + x        3 + x           /     2\    |       |              2    |      |              2    | |                     2    |                   |              2    ||
  |    \         3 + x     /                          \                                          \3 + x /     /              \         3 + x     /       \         3 + x     /                \                                 \3 + x /    /       \         3 + x     /      \         3 + x     / \                3 + x     /                   \         3 + x     /|
4*|- ------------------------ - ------------------------------------------------------------------------------- - -------------------------------- - ------------------------- - ------------------------------------------------------------ + -------------------------- + ---------------------------------------------------- + -------------------------------------|
  |          -1 + 3*x                                               -1 + 3*x                                                        2                               2                                            2                                             2                                         2                                                2              |
  |                                                                                                                            3 + x                           3 + x                                        3 + x                                         3 + x                                     3 + x                                         /     2\               |
  \                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                               \3 + x /               /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                        2                                                                                                                                                                                 
                                                                                                                                                                                /     2\                                                                                                                                                                                  
                                                                                                                                                                                \3 + x /                                                                                                                                                                                  

$$\frac{1}{\left(x^{2} + 3\right)^{2}} \left(\frac{16 x^{2}}{\left(x^{2} + 3\right)^{2}} \left(3 x - 1\right) \left(\frac{2 x \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} - 3\right) + \frac{8 x}{x^{2} + 3} \left(\frac{2 x \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} - 3\right)^{2} - \frac{24 x}{x^{2} + 3} \left(\frac{2 x \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} - 3\right) - \frac{4}{x^{2} + 3} \left(3 x - 1\right) \left(\frac{2 x \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} - 3\right) - \frac{12}{x^{2} + 3} \left(3 x - 1\right) \left(\frac{8 x^{3} \left(3 x - 1\right)}{\left(x^{2} + 3\right)^{2}} - \frac{12 x^{2}}{x^{2} + 3} - \frac{4 x \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} + 3\right) + \frac{8}{x^{2} + 3} \left(\frac{2 x \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} - 3\right) \left(- \frac{4 x^{2} \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} + 9 x - 1\right) - \frac{12}{3 x - 1} \left(\frac{2 x \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} - 3\right)^{2} - \frac{4}{3 x - 1} \left(\frac{2 x \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} - 3\right) \left(\frac{12 x^{2} \left(3 x - 1\right)^{2}}{\left(x^{2} + 3\right)^{2}} - \frac{24 x \left(3 x - 1\right)}{x^{2} + 3} - \frac{2 \left(3 x - 1\right)^{2}}{x^{2} + 3} + 9\right)\right)$$